Küme, Venn Şeması

KÜME, belirli birtakım nesnelerden oluşan topluluk. Bir küme ya tüm elemanları {ve} işaretleri arasına sıralanarak ya da ortak özellik yöntemiyle belirtilir. Örneğin A = {2,3,5,7} ile A = {x|, 10’dan küçük artı asal sayı} kümeleri eşittir. Birincisi liste, ikincisi ortak özellik yöntemiyle yazılmıştır. Bir kümenin elemanı olma Î simgesiyle gösterilir. Örneğin 2 Î A yazımı, 2 sayısının A kümesinin elemanı olduğunu gösterir. Kümeler sonlu ya da sonsuz sayıda eleman içerebilirler. Örneğin çift tam sayılar kümesi sonsuz, 10’dan küçük çift tamsayılar kümesi sonludur. Hiç elemanı olmayan kümeye “boş küme” denir ve Æ ya da { } simgesiyle gösterilir. Örneğin 1’den küçük çift tamsayılar kümesi boş kümedir. Boş kümeyi, tek elemanlı sıfır kümesiyle yani 0 ile karıştırmamak gerekir. Kümelerin elemanlarını birtakım kapalı eğrilerin içine işaretlemekle elde edilen gösterime “Venn şeması” denir. Bu şemalar kümelerin ve aralarındaki ilişkilerin kolay anlaşılmasını sağlar. Bir A kümesinin her elemanı bir B kümesinin de elemanıysa, A’ya B’nin bir “alt kümesi” denir ve A Ì B yazılır. Bu tanıma göre, Æ her kümenin ve her küme kendisinin bir alt kümesidir. A ve B kümeleri için A Ì B ve A≠B ise; A, B’nin bir “öz alt kümesi”dir. İki kümenin eşit olması için gerek ve yeter koşul, her iki kümenin de birbirlerinin alt kümesi olmasıdır. n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2n’dir. A ve B kümeleri verildiğinde hem A’nın hem de B’nin elemanlarından oluşan kümeye bunların “birleşim kümesi” denir ve A È B yazılır. A ile B’nin ortak elemanlarından oluşan kümeye ise bu iki kümenin “arakesit (kesişim)” kümesi denir, A Ç B olarak yazılır. Birleşim ve arakesit işlemleri değişme, birleşme ve birbirleri üzerine dağılma özelliklerine sahiptirler. Bu son özellik

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C),

A « (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

biçiminde ifade edilir. “Evrensel küme (E)”, üzerinde çalıştığımız tüm kümeleri kapsayan küme olarak tanımlanmak üzere, E’nin olup da A’ya ait olmayan elemanların kümesine A’nın “tümleyeni” denir ve A¢ ile gösterilir. Örneğin Æ’nin tümleyeni E, E’nin tümleyeni Æ’dir. A ile B kümelerinin “farkı” da “B’nin A’daki elemanların çıkarılmasından sonra kalan elemanların kümesi” olarak tanımlanır ve A \ B biçiminde gösterilir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} ise, A \ B= {1, 3, 5}’tir. A ve B kümelerinin hiçbir ortak elemanı yoksa, yani bunların arakesit kümesi boşsa, A ile B “ayrık küme”lerdir. İki ayrık küme için A \ B = B \ A = Æ olduğu kolayca kanıtlanabilir. Ayrıca, A’nın tümleyeni E \ A anlamına gelir. Bir A kümesindeki elemanların sayısı s(A) biçiminde gösterilir. Eleman sayıları eşit olan kümeler “denk kümeler” dir. Örneğin A = {a, b, c, d} ve B = { e, f, g, h } kümeleri, s(A) = s(B) = 4 olduğundan denktir. İki kümenin birleşiminin eleman sayısı için s(A È B) = s(A) + s(B) - s(A Ç B) eşitliği geçerlidir. Örneğin bir sınıftaki 7 öğrenci gözlüklü, 11 öğrenci esmer ve 3 öğrenci de hem gözlüklü hem esmerse bu sınıftaki gözlüklü ya da esmer öğrencilerin sayısı s(A È B) = 7 + 11 - 3 = 15’tir. Küme teorisi matematikte büyük önem taşır. Örneğin analitik geometride bir eğri, noktalar kümesi biçiminde gösterilebilir. f(x) ve g(x) fonksiyonları A ve B kümeleriyle temsil edilebiliyorsa f(x) ve g(x) eğrilerinin kesim noktaları, A ve B kümelerinin arakesitidir (kesişimi).